Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Wir sind jetzt in dem Kapitel über lineare Differentialgleichungen der Ordnung N und da

kommen wieder die Begriffe aus der linearen Algebra ins Spiel. Wir hatten ja bei den

linearen Differentialgleichungen erster Ordnung als Lösung des homogenen Systems vielfache

einer homogenen Lösung. Also da war der Lösungsraum dieses homogenen Systems eindimensional.

Bei den Differentialgleichungen zweite Ordnung, also lineare Differentialgleichungen zweite Ordnung,

haben wir für die homogene Lösung zwei aufspannende Basislösungen. Das heißt,

der Lösungsraum wird dadurch die Kombination, die lineare Kombination zweier Lösungen aufgespannt.

Also wenn Sie so eine allgemeine Lösung haben, hat die Form C1Y1 plus C2 mal Y2 bei der

Differentialgleichung zweite Ordnung. Das ist also so ein zweidimensionaler Lösungsraum und bei der

Differentialgleichung N-Torordnung bekommen Sie dann entsprechend einen N-dimensionalen

Lösungsraum. Das spiegelt sich ja auch in den Freiheiten wieder, die Sie bei den Anfangsbedingungen

haben. Bei den Differentialgleichungen erste Ordnung können Sie ja nur einen Wert vorgeben.

Bei den Differentialgleichungen zweite Ordnung haben Sie an einer Stelle x0 einen Wert und den Wert

der ersten Ableitung an dieser Stelle vorzugeben. Also deshalb haben Sie da zwei Konstanten, die

variabel sind und entsprechend haben Sie bei diesen linearen Differentialgleichungen N-Torordnung

N-Freiheitsgrade und das spiegelt sich in dem Lösungsraum wieder. Das ist eben ein N-dimensionaler

Raum. Und in der linearen Algebra war ja die lineare Unabhängigkeit ein wichtiger Begriff. Die

linearen Vektorräume können ja durch Basen aufgespannt werden und die Anzahl der Basisvektoren,

die ist dann immer gleich, das ist die Dimension des Raumes. Und eine Basis besteht aus einer

maximalen Anzahl linear-unabhängiger Vektoren. Und diese linear-unabhängigen Vektoren entsprechen

jetzt hier in dem Kontext linear-unabhängigen Funktionen und die definieren wir jetzt.

Definition, es sei also I ein endliches oder unendliches Intervall. Zum Beispiel kann das die

ganze reelle Achse sein. Und auf diesem Intervall I haben wir jetzt Funktionen, ein System von

Funktionen y1 von x und so weiter bis yn von x. Also N-Funktionen, die auf I definiert sind,

heißen linear-unabhängig über I oder auf diesem Intervall I.

Falls folgendes gilt, falls aus der Gleichung c1 mal y1 von x plus c2 mal y2 von x plus und so

weiter plus cn mal yn von x gleich 0 für alle x aus I. Aus dieser Gleichung folgt, dass die

Koeffizienten c1 bis cn alle gleich 0 sein müssen. Was ist das für eine Gleichung? Da

sehen Sie auf der linken Seite eine Linearkombination dieser Funktionen. Die Linearkombination der

Funktionen y1 bis yn ist ja wieder eine Funktion, die auf diesem Intervall I definiert ist. Da kann

ich also Punkte x aus dem Intervall I einsetzen. Das sind also jetzt unendlich viele Gleichungen.

Für jeden Punkt x in dem Intervall I haben wir ja eine Gleichung. In dem Fall endlich

dimensionaler Vektorräume, den Sie aus der linearen Algebra kennen, sind ja y1 von x und

so weiter Vektoren und die haben jeweils N-Komponenten. Das können Sie so interpretieren.

In der linearen Algebra haben Sie den Fall gehabt, wo diese Menge groß I endlich ist. Die hat dann

N Elemente von 1 bis N und das liefert Ihnen dann hier auch N Gleichungen im R hoch N. In einem

Funktionraum haben Sie nicht nur endlich viele Gleichungen, sondern unendlich viele, denn Sie

können ja jeden Punkt dieses Intervalles da einsetzen. Jetzt geht die Definition noch weiter.

Also aus dieser Darstellung der Nullfunktion auf dem Intervall I folgt das gilt c1 gleich c2 und so

weiter ist gleich cn gleich Null. Dann sind die Funktionen linear unabhängig. Es gibt also keine

nicht triviale Darstellung der Nullfunktion und wenn es doch so eine gibt, dann sind die Funktionen

linear abhängig. Andernfalls heißen die Funktionen y1 bis yn linear abhängig über I.

An diesem Begriff muss man sich erst gewöhnen. Der Rahmen ist hier ja doch etwas anders als in

der linearen Algebra, aber es ist derselbe Begriff der linearen Unabhängigkeit. Als Beispiel betrachten

wir die ganze reelle Achse als I. Also I ist gleich R, y1 von x ist x, y2 von x ist x² und y3 von x ist

x³. Und jetzt wollen wir prüfen, ob diese drei Funktionen linear unabhängig sind. Dafür schreiben

wir die Gleichung mit der Linearkombination hin. Null ist gleich c1, das ist der erste Koeffizient,

mal y1 von x plus c2, das ist der zweite Koeffizient, mal y2 von x und dann gibt es noch

hier den dritten Koeffizienten c3, der wird mit y3 von x multipliziert und das soll gelten für alle